Intégrale impropre (E-M)

Exercices de mathématiques

Pour simplifier, une intégrale impropre est l'intégrale sur ]a , b[ d'une fonction dont la primitive n'est pas définie en a ou en b

$\star \star$ Pour quelles valeurs des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$ , l'intégrale suivante existe-t-elle ? $\int _{e}^{+\infty }{dt \over t^{\alpha }\,(\ln t)^{\beta }}$ (intégrale de Bertrand).

Solution

pour $\alpha$ >1 et $\beta$ quelconque, ou $\alpha$ =1 et $\beta$ >1

Calculer pour tout $n\in \mathbb {N}$ , l'intégrale $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}$ .

Solution

{\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}=\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{4^{n}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}\right)dx}\\&\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {1}{4^{n}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}{x}}dx}}\\\end{aligned}}

Or on a $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}{x}}dx}=\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2}}$ .

Donc on obtient $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2^{2n+1}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)}$ .

Comme $\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)}=\left({\begin{matrix}2n\\n\\\end{matrix}}\right)$ .

D'où $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2^{2n+1}}}\left({\begin{matrix}2n\\n\\\end{matrix}}\right)$ .

Calculer pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ l’intégrale $I_{n}=\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {1+2x+...+nx^{n-1}}}}}$ .

Solution

Tout d’abord , on a $1+2x+...+nx^{n-1}={\frac {d}{dx}}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{x^{k}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right)={\frac {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}{\left(1-x\right)^{2}}}$ .

D’où on a $I_{n}=\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {\left(x-1\right)dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}}}}$ .

Faisons un changement de variable , pour cela posons $y={\sqrt {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}}$ .

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}^{+\infty }{\frac {dy}{\left(y-1\right){\sqrt {y}}}}$ .

Et un petit changement de variable encore avec $t={\sqrt {y}}$ , ce qui donne : $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }{{\frac {2}{t^{2}-1}}dt}$ .

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }{\left({\frac {1}{t-1}}-{\frac {1}{t+1}}\right)dt}$ .

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\left[\ln \left({\frac {t-1}{t+1}}\right)\right]_{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }$ .

Finalement on obtient :: ${\overline {\overline {\underline {\underline {\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {1+2x+...+nx^{n-1}}}}}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\ln \left({\frac {{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}-1}{{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}+1}}\right)}}}}}$ .

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